RESÚMENES
CURSOS Y CHARLAS
Expositor: Vinicio Gómez Gutiérrez (FC-UNAM)
Título: Introducción al álgebra diferencial
Resumen: En este minicurso nos proponemos dar una introducción al Álgebra Diferencial. Las dos primeras sesiones estarán dedicadas a conceptos clásicos, seguiremos el libro de Ritt. La última sesión estará dedicada a una generalización que permite acercarse a las ecuaciones diferenciales tropicales.
Sesión 1. Polinomios diferenciales.
Sesión 2. Ideales diferenciales.
Sesión 3. Ecuaciones diferenciales con coeficientes en un semianillo.
Referencias:
1. Boulier, François, et Lemaire, François. An introduction to Differential Algebra. Notas de la Escuela CIMPA (2023).
2. Garay, Cristhian. Introducción a las ecuaciones diferenciales tropicales. Mixba’al, UAM (2021).
3. Ritt, Joseph. Differential Algebra. AMS, Colloquium Publications, Volume 33 (1950).
Expositor: Jesús Alberto Palma Márquez (Weizmann Institute of Science, Israel)
Título:: Rudimentos de la teoría geométrica de formas normales de ecuaciones diferenciales analíticas complejas,
Resumen: Como punto de partida, analizaremos la geometría de soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con tiempo complejo, distinguiendo entre los así llamados dominios de Poincaré y de Siegel, e introduciremos la transformación de monodromía asociada a éstas. Enseguida, presentaremos las ideas principales en los resultados clásicos de linealización local de ecuaciones diferenciales analíticas (en particular, polinomiales); a saber, los teoremas de Poincaré y de Poincaré-Dulac, vía el estudio de formas normales formales y analíticas.
Si el tiempo lo permite, presentaremos (sin demostración, pero dando los elementos clave de) los resultados más generales sobre la clasificación analítica y formal conocidos al día de hoy; a saber, los resultados obtenidos conjuntamente por L. Ortiz Bobadilla, E. Rosales González y S. Voronin, para ecuaciones diferenciales analíticas con singularidad degenerada (es decir, la parte lineal es cero en torno a una singularidad aislada).
A lo largo del mini curso, trataremos ejemplos concretos para que todos quedemos familiarizados con las principales técnicas a considerar.
El curso será autocontenido, salvo por conocimientos básicos esperados de Cálculo Diferencial, un primer curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, así como nociones básicas de los números complejos; en particular, ayudará el conocer de antemano a la función logaritmo compleja. Referencias básicas sobre ecuaciones diferenciales analíticas complejas, donde se tratan estos y demás temas a profundidad, son el libro clásico de V.I. Arnold [1], así como la reciente monografía escrita por Yu.S. Ilyashenko y S. Yakovenko [2]. Referimos además al libro de texto de B. Shabat sobre Análisis Complejo en una variable; cf., [3], donde, a nuestro parecer, se da un tratamiento diáfano y geométrico sobre el tema.
Referencias:
[1] V. I. Arnold, Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations, second ed., Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 250, Springer-Verlag, New York, 1988, Translated from the Russian by Joseph Szücs [József M. Szűcs]. MR 947141.
[2] Yu. S. Ilyashenko and S. Yakovenko, Lectures on analytic differential equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 86, American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. MR 2363178.
[3] B. Shabat, Introduction à l’analyse complexe. Tome 1, Traduit du Russe: Mathématiques. [Translations of Russian Works: Mathematics], “Mir”, Moscow, 1990, Fonctions d’une variable. [Functions of one variable], Translated from the Russian by Djilali Embarek. MR 1089192.
Expositor: Cristhian Garay (CONAHCYT-CIMAT, Guanajuato)
Título. Métodos algebraicos y tropicales para resolver ecuaciones diferenciales algebraicas.
Resumen: La geometría algebraica estudia básicamente los objetos que se pueden describir como conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales. El álgebra lineal es el caso especial en el que las ecuaciones son lineales, y gracias a los recientes avances en la potencia de los sistemas de cómputo, cada vez es menos difícil implementar algoritmos que sean capaces de resolver sistemas de ecuaciones polinomiales no lineales, los cuales aparecen todo el tiempo en las aplicaciones a la ciencia y la tecnología.
Ahora bien, el estudio de las soluciones de (sistemas de) ecuaciones diferenciales no es un tema que comúnmente se asocie con la geometría algebraica. Sin embargo, hay un tipo particular de ecuaciones diferenciales (llamadas algebraicas) que se pueden interpretar como polinomios (llamados diferenciales), y en teoría podemos estudiar conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales diferenciales con métodos de la geometría algebraica.
Esta manera de ver las cosas se conoce como Geometría algebraica diferencial, la cual (al igual que la geometría algebraica clásica) también tiene un aspecto tropical. En este taller daremos a conocer algunos de los aspectos más relevantes sobre esta rama, y también hablaremos sobre cómo empezar a trabajar con paquetería y problemas relacionados al área.
Expositor: Carla Valencia (Universidad Iberoamericana Ciudad de México)
Título: Aplicaciones de métodos algebraicos en dos ejemplos clásicos.
Resumen: Este taller de tres sesiones abordará ejemplos concretos del uso de métodos algebraicos en el análisis de ecuaciones diferenciales clásicas:
1. Ecuación de Fourier en Dos Dimensiones
Se mostrarán técnicas de resolución empleando métodos algebraicos y se analizará cómo estos procedimientos facilitan la comprensión de la propagación del calor en 2D.
2. Otras Aplicaciones en Fluidos
Se presentarán casos de estudio en dinámica de fluidos (p. ej., Navier-Stokes simplificadas) para ilustrar cómo las herramientas algebraicas contribuyen a la modelación y predicción de comportamientos complejos.
Cada sesión combinará teoría con ejemplos prácticos para fomentar una mejor comprensión de la potencia de los métodos algebraicos en problemas de la física y las matemáticas aplicadas.
Expositor: Oziel Gómez Martínez (CIMAT Guanajuato)
Título: Explosión de singularidades y su aplicación a ecuaciones diferenciales
Resumen: El objetivo del presente minicurso es introducir una herramienta de geometría algebraica al estudio de ecuaciones diferenciales en el plano complejo. De manera más precisa introduciremos la explosión de un punto en el plano complejo y veremos cómo podemos usar esta herramienta en el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias analíticas.
Expositor: Ruby L. Almazán Calzada (FC-UNAM)
Título: Quirotopos de un CTLN
Resumen: En ésta plática se explorará de manera análoga una pequeña introducción a los sistemas Threshold Lineal Network (TLN’s), a los Combinatorial Threshold Lineal Network y la definición de Quirotopo dentro de estos modelos. Los quirotopos están ligados con el conjunto de soportes de un punto de equilibrio por lo que se presentarán ejemplos de cómo se relacionan entre sí.
Expositor: Carlos Joaquín Castañeda Castro (Brown University, EEUU)
Título: Los motivos libres de dominación moldean la dinámica de los TLNs: Una nueva clasificación.
Resumen: Las redes neuronales inhibitorias exhiben patrones intrincados de comportamiento. Inspirados en el cerebro, los threshold-linear networks (TLNs) son modelos de redes neuronales que presentan una dinámica no lineal, determinada por la conectividad de la red, es decir, por una gráfica dirigida. Anteriormente se desarrollaron reglas gráficas independientes de parámetros que aprovechan la estructura de la red para inferir algunas características de su dinámica. En este trabajo, nos enfocamos en una de estas reglas: la dominación. Generalizarla nos ha permitido clasificar las 9608 digráficas de tamaño n=5, revelando sorprendentes similitudes entre los atractores de sistemas dinámicos completamente diferentes. Estos hallazgos ofrecen nuevas perspectivas sobre la dinámica en los TLNs y en redes neuronales biológicas.
Expositor: Leonel Toledo (UPIIH - IPN)
Título: Soluciones exactas de ecuaciones estacionarias de magnetohidrodinámica ideal en el sistema de coordenadas naturales
Resumen: Se consideran las ecuaciones de la magnetohidrodinámica ideal que describen flujos estacionarios de un fluido no viscoso idealmente conductor de electricidad. Con el uso del sistema de coordenadas curvilíneas naturales, donde las líneas de corriente y las líneas de fuerzas magnéticas desempeñan el papel de las curvas de coordenadas, las ecuaciones del modelo se integran parcialmente y se convierten a la forma que es más conveniente para la descripción de las líneas magnéticas y líneas de corriente de partículas. Como el sistema de coordenadas utilizado está relacionado con el sistema de coordenadas inicial por una transformación no local, el grupo admitido por el sistema puede cambiar. Se calcula un grupo de simetrías de dimensión infinita (que contiene tres funciones arbitrarias del tiempo) para el sistema en las coordenadas naturales. Se construye un sistema óptimo de subgrupos de dimensiones 1 y 2 para este grupo. Para uno de los subgrupos del sistema óptimo, se encuentra una solución exacta invariante, que describe el flujo de fluido conductor de electricidad del tipo de fuente de vórtice con líneas magnéticas y líneas de corriente arremolinadas.
CHARLAS JUNIOR
Expositor: Kevin Sevilla (CINVESTAV-IPN),
Título: Ecuaciones diferenciales p-ádicas: Teoría y aplicaciones
Resumen: Una de las herramientas más importantes para estudiar una variedad p-ádica es la cohomología étale con coeficientes ℓ-adicos, esta nos da información sobre las cubiertas no-ramificadas de una variedad, esto permitió dar una demostración de las conjeturas de Weil en el siglo pasado, sin embargo esta herramienta no es útil para calcular explícitamente las funciones zeta de una variedad u observar como varían en una familia de variedades, para esto las ecuaciones diferenciales p-ádicas han sido particularmente útiles. En esta platica hablaremos de el ejemplo clásico para describir funciones zeta asociadas a la curvas elípticas de Legendre y hablar brevemente de la teoría para construir la cohomología rígida p-ádica usando estas ideas.
Expositor: Kevin Calderón (FC-UNAM, CINVESTAV-IPN)
Título: Nuevas series para $\pi$ sobre $SL_{2}(Z)$
Resumen: Se presentarán nuevas fórmulas para el cálculo de "pi" sobre cierta parte de $SL_2(Z)$ , así como la emergencia de la geometría tropical en ello. Daré también una manera en la que estas ideas nos permiten tratar con el problema del desplazamiento de las aristas de un polígono reticular en geometría discreta , mediante la teoría de fracciones continuas.
Expositor: Marco Favela (Universidad Iberoamericana Ciudad de México)
Título: Análisis Algebraico y Tropical del Oscilador No Lineal de Duffing
Resumen: Esta charla explica cómo los métodos tropicales pueden ser aplicados al estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales por primera vez. Aquí, se presentará un resumen completo de lo que son las ecuaciones diferenciales tropicales y sus soluciones, usando como ejemplo ecuaciones tipo Duffing.
Los resultados de este trabajo incluyen la segunda aproximación de las soluciones tropicales para ocho ecuaciones tipo Duffing diferentes.
Expositor : Bruno Aceves (CINVESTAV-IPN)
Título: Álgebras de Hopf de diagramas de Feynman.
Resumen: En esta charla presentaremos una introducción a las álgebras de Hopf, unos objetos algebraicos íntimamente relacionados con la teoría de representaciones y la combinatoria, y sus aplicaciones a la teoría cuántica de campos.
Expositor: Alonso Andapia (Universidad Iberoamericana Ciudad de México)
Título: Introducción a las Redes neuronales basadas en la Física (PINNs)
Resumen: Las Redes neuronales basadas en la Física (PINNs) representan un enfoque novedoso que combina principios de deep learning con las leyes de la Física para resolver problemas que involucran ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Este enfoque destaca por su capacidad de integrar restricciones en la función de pérdida de una red neuronal, garantizando que las soluciones propuestas sean consistentes con las leyes fundamentales que gobiernan el sistema estudiado. Las PINNs han demostrado ser especialmente útiles en escenarios donde los datos son limitados o difíciles de obtener, permitiendo la incorporación de información previa y una modelación precisa incluso con restricciones en los datos. Destacan al abordar problemas complejos mediante la integración de principios físicos y de aprendizaje automático, logrando optimizar la solución de sistemas dinámicos. En este trabajo se mostrará cómo pueden considerarse restricciones algebraicas para obtener mejores resultados, incluso en contextos de alta no linealidad y escenarios con restricciones adicionales.
Expositor: Manuel Romero de Terreros (Universidad Iberoamericana Ciudad de México)
Título: Aplicaciones del algoritmo de Rosenfeld-Gröbner al estudio de la capa límite de Prandtl
Resumen: El algoritmo de Rosenfeld-Gröbner, desarrollado por François Boulier y François Lemaire, funciona como una extensión del algoritmo clásico de bases de Gröbner, creado por Bruno Buchberger, adaptado para sistemas diferenciales. Esta herramienta permite obtener una base de Gröbner diferencial, simplificando sistemas de ecuaciones diferenciales mientras se preserva su espacio de soluciones original.
Esta herramienta nos abre nuevas perspectivas para el estudio de sistemas diferenciales. Su capacidad para identificar estructuras algebraicas y cardinalidades dentro de modelos físicos la convierte en un recurso invaluable en el análisis de la mecánica de fluidos, un área que se ha caracterizado por el uso de expresiones canónicas complejas que describen los comportamientos y características físicas de los fluidos.
El objetivo de esta exposición es explorar el funcionamiento del algoritmo, así como su aplicación, utilizando como ejemplo modelos fundamentales de la mecánica de fluidos, abordando desde las ecuaciones completas de Navier-Stokes hasta aproximaciones reducidas, como la capa límite de Prandtl. Estas ecuaciones son esenciales para describir el flujo de fluidos y presentan una complejidad matemática significativa debido a su naturaleza no lineal y a las múltiples interacciones físicas que representan.
